Dãy các lũy thừa hoàn hảo có thể được sinh bằng cách chạy qua các giá trị m và k. Một số phần tử đầu trong dãy (cho phép lặp lại là): (dãy số A072103 trong bảng OEIS):

2 2 = 4 ,   2 3 = 8 ,   3 2 = 9 ,   2 4 = 16 ,   4 2 = 16 ,   5 2 = 25 ,   3 3 = 27 , {\displaystyle 2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,} 2 5 = 32 ,   6 2 = 36 ,   7 2 = 49 ,   2 6 = 64 ,   4 3 = 64 ,   8 2 = 64 , … {\displaystyle 2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots }

Tổng chuỗi các nghịch đảo của lũy thừa hoàn hảo (bao gồm lặp lại như 34 và 92, cả hai đều bằng 81) bằng 1:

∑ m = 2 ∞ ∑ k = 2 ∞ 1 m k = 1. {\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.}

Tổng trên được tính như sau:

∑ m = 2 ∞ ∑ k = 2 ∞ 1 m k = ∑ m = 2 ∞ 1 m 2 ∑ k = 0 ∞ 1 m k = ∑ m = 2 ∞ 1 m 2 ( m m − 1 ) = ∑ m = 2 ∞ 1 m ( m − 1 ) = ∑ m = 2 ∞ ( 1 m − 1 − 1 m ) = 1 . {\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.}

Dãy các lũy thừa hoàn hảo không lặp lại là:

(đôi khi bao gồm 0 và 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... (dãy số A001597 trong bảng OEIS)

Tổng các nghịch đảo của dãy lũy thừa hoàn hảo p mà không có lặp lại là:[1]

∑ p 1 p = ∑ k = 2 ∞ μ ( k ) ( 1 − ζ ( k ) ) ≈ 0.874464368 … {\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots }

với μ(k) là hàm Möbius và ζ(k) là hàm zeta Riemann.

Theo lời của Euler, Goldbach đã cho thấy (trong một bức thư hiện đã mất đi) tổng của 1/p − 1 trên tập các lũy thừa hoàn hảo p, ngoại trừ 1 và lặp lại, là 1:

∑ p 1 p − 1 = 1 3 + 1 7 + 1 8 + 1 15 + 1 24 + 1 26 + 1 31 + ⋯ = 1. {\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.}

Đôi khi được gọi là định lý Goldbach–Euler.